在劳动关系中，员工临近劳动合同期满时突然发病，这无疑给用人单位和劳动者双方带来了挑战。面对这种情况，如何妥善处理既保障劳动者的合法权益，又维护用人单位的正当利益，成为了需要深入探讨的问题。

首先，我们需要参考《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据该法，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。这意味着，即使小李的劳动合同即将到期，但只要他处于医疗期内，用人单位就不得终止劳动合同。

此外，劳动合同期满时，如果劳动者仍处于医疗期内，那么劳动合同的期限应当自动续延至医疗期结束。这样做是为了确保劳动者在患病期间得到充分的保障，不会因为劳动合同的到期而失去工作和医疗待遇。

然而，如果小李的病情严重到经劳动鉴定委员会鉴定为完全丧失劳动能力，那么用人单位可以依据相关规定办理因病或非因工负伤退休、退职手续。但在此之前，用人单位仍需承担小李在医疗期内的相关待遇和责任。

综上所述，当员工临近劳动合同期满时突然发病，用人单位应首先确认员工是否处于医疗期内。如果是，则劳动合同的期限应自动续延至医疗期结束，确保员工的合法权益得到保障。同时，用人单位也应积极与员工沟通，协商解决方案，并在必要时寻求法律援助，以确保双方利益的平衡和劳动关系的和谐稳定。